© 2025 Astra.si. Wszelkie prawa zastrzeżone.
Dla następnego pokolenia.
© 2025 Astra.si. Wszelkie prawa zastrzeżone.
Dla następnego pokolenia.
Funkcja potęgowa to funkcja postaci f(x) = x^n, gdzie 'n' jest dowolną liczbą rzeczywistą. Wykładnik 'n' określa właściwości funkcji: jej dziedzinę, zbiór wartości, przebieg wykresu, a także jej symetrię i monotoniczność. Funkcje potęgowe obejmują liczby naturalne, a także liczby ujemne i wymierne w wykładniku.
W zależności od wartości wykładnika 'n' wyróżniamy kilka przypadków o charakterystycznych kształtach i zachowaniach funkcji.
f(x) = x^2 – parabola, funkcja parzysta, wykres jest symetryczny względem osi y.
f(x) = x^3 – funkcja nieparzysta, wykres jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.
f(x) = x – funkcja liniowa, funkcja tożsamościowa.
f(x) = x^(-1) = 1/x – funkcja wymierna z asymptotami (x != 0), funkcja nieparzysta.
f(x) = x^(-2) = 1/x^2 – dodatnia dla wszystkich x != 0, funkcja parzysta.
f(x) = x^0 = 1 dla x != 0 – funkcja stała (zwykle definiowana jako f(x) = 1).
f(x) = x^(1/2) = sqrt(x) (pierwiastek kwadratowy z x) – zdefiniowana tylko dla x >= 0, rosnąca, ani parzysta, ani nieparzysta.
f(x) = x^(1/3) = sqrt(3)(x) (pierwiastek sześcienny z x) – zdefiniowana na R (wszystkie liczby rzeczywiste), funkcja nieparzysta.
Jeśli 'n' jest nieparzystą liczbą całkowitą, funkcja jest nieparzysta: zachodzi f(-x) = -f(x).
Jeśli 'n' jest parzystą liczbą całkowitą, funkcja jest parzysta: zachodzi f(-x) = f(x).
Jeśli n < 0, funkcja ma asymptoty, często nie jest zdefiniowana dla x = 0.
Jeśli 'n' jest wymierne (jak ułamek m/k), funkcja jest zdefiniowana tylko tam, gdzie zdefiniowany jest pierwiastek k-tego stopnia (np. sqrt(x) tylko dla x >= 0).
Zależą one od wykładnika:
f(x) = x^n, n należące do N, to Dziedzina (Df) = R, Zbiór wartości (Rf) = R (jeśli n jest nieparzyste), Rf = [0, nieskończoność) (jeśli n jest parzyste i dodatnie)
f(x) = x^(-1), to Df = R \ {0}, Rf = R \ {0} (liczby rzeczywiste z wyłączeniem 0)
f(x) = sqrt(x), to Df = [0, nieskończoność), Rf = [0, nieskończoność)
Niech f(x) = x^3.
Df = R, Rf = R.
f(-2) = -8, f(2) = 8, zatem funkcja jest nieparzysta.
Wykres przechodzi przez początek układu współrzędnych i jest rosnący w całej dziedzinie.
Funkcja potęgowa jest jedną z podstawowych rodzin funkcji. Jej postać i właściwości są bezpośrednio zależne od wykładnika. Dzięki nim badamy różne typy wzrostu, symetrię i zachowanie funkcji w jej dziedzinach. Ze względu na swoją prostą strukturę i różnorodność w zależności od wartości 'n', ta funkcja zajmuje ważne miejsce w analizie matematycznej.
