© 2025 Astra.si. Wszelkie prawa zastrzeżone.
Dla następnego pokolenia.
© 2025 Astra.si. Wszelkie prawa zastrzeżone.
Dla następnego pokolenia.
Funkcja wykładnicza to funkcja postaci: f(x) = a^x, gdzie 'a' jest dodatnią liczbą rzeczywistą różną od 1 (a > 0, a != 1), a x jest dowolną liczbą rzeczywistą. Podstawa 'a' określa, czy funkcja jest rosnąca czy malejąca, podczas gdy zmienna x jest wykładnikiem.
Funkcja wykładnicza jest funkcją odwrotną do funkcji logarytmicznej, co oznacza: jeśli f(x) = a^x, to f^(-1)(x) = log_a(x).
DZIEDZINA: Df = R (funkcja jest zdefiniowana dla wszystkich liczb rzeczywistych).
ZBIÓR WARTOŚCI: Zf = (0, nieskończoność) (funkcja jest zawsze dodatnia).
Funkcja nigdy nie przyjmuje wartości 0 ani żadnych wartości ujemnych.
Wykres funkcji nigdy nie przecina osi x, ale się do niej zbliża – zatem ma asymptotę poziomą przy y = 0.
Jeśli a > 1, funkcja jest rosnąca.
Jeśli 0 < a < 1, funkcja jest malejąca.
Przykłady:
f(x) = 2^x, to funkcja wykładnicza o podstawie 2, rosnąca.
f(x) = (1/2)^x, to funkcja malejąca, ponieważ podstawa jest mniejsza niż 1.
f(0) = a^0 = 1, dla dowolnej dopuszczalnej podstawy 'a'.
f(1) = a^1 = a.
Funkcja jest zawsze dodatnia.
Funkcja jest ciągła i różniczkowalna w całym zbiorze liczb rzeczywistych (R).
Wykres funkcji nie przecina osi x, tylko się do niej zbliża (y = 0 jest asymptotą).
Niech f(x) = 3^x.
f(-2) = 3^(-2) = 1/9
f(0) = 1
f(2) = 9
Funkcja rośnie szybko, a jej wartości są zawsze dodatnie.
Szczególnym przypadkiem jest funkcja: f(x) = e^x, gdzie e ≈ 2,718 (podstawa logarytmu naturalnego). Ta funkcja odgrywa ważną rolę w wyższej matematyce, ponieważ jej pochodna jest równa jej samej.
Funkcja wykładnicza jest fundamentalna dla opisywania wzrostu, rozpadu i zmian w matematyce. Jej postać zależy od podstawy, która określa, czy jest rosnąca czy malejąca. Ze względu na swoją ciągłość, dodatniość i proste właściwości jest kluczowym budulcem analizy matematycznej i traktowania funkcji odwrotnych.
