© 2025 Astra.si. Wszelkie prawa zastrzeżone.
Dla następnego pokolenia.
© 2025 Astra.si. Wszelkie prawa zastrzeżone.
Dla następnego pokolenia.
Kombinatoryka to gałąź matematyki, która zajmuje się zliczaniem możliwych układów, wyborów lub rozkładów elementów w ramach danego zestawu reguł. Jednym z podstawowych pojęć w tej dyscyplinie jest fundamentalna zasada zliczania, która pozwala na szybkie i systematyczne zliczanie bez konieczności wypisywania każdej pojedynczej możliwości.
Fundamentalna zasada zliczania stwierdza:
Jeśli zadanie składa się z sekwencji faz, gdzie:
pierwsza faza może być wykonana na n_1 sposobów,
druga faza może być wykonana na n_2 sposobów,
trzecia faza może być wykonana na n_3 sposobów,
...i tak dalej,
to całe zadanie może być wykonane na: n_1 * n_2 * n_3 * ... * n_k sposobów.
Ta zasada stosuje się pod warunkiem, że wybory w każdej fazie nie wykluczają się wzajemnie i są zależne od ich kolejności.
Jeśli chcemy utworzyć trzycyfrowy kod numeryczny, gdzie każda pozycja może zawierać dowolną cyfrę od 0 do 9 (10 możliwości), to liczba wszystkich możliwych kodów wynosi: 10 * 10 * 10 = 1000 różnych kodów.
Jeśli masz 3 koszule, 4 pary spodni i 2 pary butów, to liczba możliwych kombinacji strojów wynosi: 3 * 4 * 2 = 24 kombinacje.
Jeśli powtarzanie nie jest dozwolone w poszczególnych fazach, liczba opcji odpowiednio maleje. Na przykład, jeśli tworzymy kod z trzech różnych liter (bez powtórzeń) z 5 dostępnych liter, to:
Pierwszy wybór: 5 opcji
Drugi wybór: 4 opcje
Trzeci wybór: 3 opcje, zatem razem: 5 * 4 * 3 = 60 opcji
Fundamentalna zasada zliczania jest podstawą dla bardziej złożonych wzorów kombinatorycznych, takich jak:
Permutacje (uporządkowanie wszystkich elementów)
Wariacje (uporządkowanie podzbiorów)
Kombinacje (wybory bez względu na kolejność)
Każda z tych koncepcji wykorzystuje fundamentalną zasadę jako podstawę do konstruowania własnych wzorów.
Fundamentalna zasada zliczania jest najprostszym, a jednocześnie niezwykle efektywnym narzędziem do zliczania możliwych układów w sekwencyjnych wyborach. Mówi nam, że całkowita liczba możliwości w sekwencyjnych, niezależnych fazach znajduje się przez pomnożenie opcji, co pozwala na szybką analizę nawet bardzo złożonych sytuacji.
