Liczby naturalne i całkowite

Zbiór liczb naturalnych

Liczby naturalne to podstawowy zbiór używany do liczenia obiektów i porządkowania według wielkości. Najczęściej oznacza się go literą N. Funkcjonują dwie powszechne definicje:

• ℕ = {1, 2, 3, 4, ...} (bez 0)
• ℕ₀ = {0, 1, 2, 3, ...} (z 0, bywa określany jako zbiór liczb całkowitych nieujemnych)
  Pierwsza definicja częściej pojawia się w teorii liczb. Druga, z 0 jako liczbą naturalną, bywa wygodna w pewnych strukturach matematycznych. W języku angielskim whole numbers często oznacza {0, 1, 2, 3, ...}, a natural numbers bywa rozumiane jako {1, 2, 3, ...} lub {0, 1, 2, 3, ...}, dlatego ważne jest doprecyzowanie definicji.

Zbiór liczb całkowitych

Zbiór liczb całkowitych, oznaczany ℤ, obejmuje wszystkie liczby naturalne, ich przeciwne (liczby ujemne) oraz 0:
ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Liczby całkowite pozwalają wykonywać wszystkie podstawowe działania arytmetyczne, w tym odejmowanie, które nie zawsze jest możliwe w ℕ (jeżeli ℕ nie zawiera 0 i liczb ujemnych). Na przykład 3 - 5 = -2 nie jest liczbą naturalną (wg pierwszej definicji), ale jest liczbą całkowitą.

Własności liczb naturalnych i całkowitych

• Następnik: każda liczba naturalna ma następnika, otrzymanego przez dodanie 1.
• Nieskończoność: oba zbiory są nieskończone, zawsze istnieje większa liczba.
• Ograniczenie (dla N): wszystkie liczby naturalne sa >= 1 (lub >= 0 w definicji z 0). Z jest nieograniczony w obu kierunkach.
• Elementy neutralne: 0 jest elementem neutralnym dodawania (a + 0 = a), a 1 jest elementem neutralnym mnożenia (a * 1 = a).

Przykłady działań

• Dodawanie: 5 + 3 = 8; (-2) + 6 = 4
• Odejmowanie: 7 - 4 = 3; (-3) - 5 = -8
• Mnożenie: 4 * 3 = 12; (-2) * 3 = -6
• Dzielenie: nie zawsze pozostaje w Z (np. 7 / 2 nie jest liczbą całkowitą, tylko ułamkiem).

Wnioski

Liczby naturalne i całkowite to podstawowe zbiory umożliwiające wykonywanie elementarnych działań. N służy do zliczania, a Z rozszerza zakres o wartości ujemne, co pozwala na bardziej ogólne ujęcie zagadnień matematycznych. Te pojęcia są kluczowe od arytmetyki po bardziej zaawansowane działy matematyki i pojawiają się w modelowaniu, analizie danych oraz w codziennych obliczeniach.