Logarytm

Podstawowa definicja

Logarytm jest odwrotnym działaniem matematycznym potęgowania. Jeśli mamy potęgę postaci a^b = c, to logarytm liczby c o podstawie a jest równy b, co zapisujemy jako:

log_a(c) = b.

Oznacza to: logarytm odpowiada na pytanie „Do jakiej potęgi musimy podnieść podstawę a, aby otrzymać liczbę c?"

Na przykład: log_2(8) = 3, ponieważ 2^3 = 8.

Elementy logarytmu

podstawa (a): liczba podnoszona do potęgi (a > 0, a != 1), argument (c): liczba, której logarytm znajdujemy (c > 0), wynik (b): wykładnik, który pokazuje, ile razy podstawa jest użyta w mnożeniu.

Przypadki specjalne

Logarytm dziesiętny (o podstawie 10): podstawa to 10, więc log(c) = log_10(c). Logarytm naturalny: podstawa to e (≈ 2,718), więc ln(c) = log_e(c).

Właściwości logarytmów

Wyrażenia logarytmiczne podlegają określonym regułom obliczeniowym:

log_a(x*y) = log_a(x) + log_a(y)

log_a(x/y) = log_a(x) - log_a(y)

log_a(x^n) = n * log_a(x)

log_a(a) = 1

log_a(1) = 0

Logarytm nie jest zdefiniowany dla argumentów ujemnych lub dla podstawy równej 1, ponieważ w tych przypadkach wykładnik nie może być określony w zwykły sposób.

Przykłady obliczeń

Znajdź: log_3(81)

Ponieważ 3^4 = 81, otrzymujemy: log_3(81) = 4

Inny przykład: log_10(1000) = 3, ponieważ 10^3 = 1000.

Podsumowanie

Logarytm jest niezbędną koncepcją matematyczną, która łączy potęgi, wykładniki i mnożenie w sposób odwrotny. Dzięki swoim właściwościom umożliwia uproszczenie obliczeń z bardzo dużymi lub bardzo małymi liczbami oraz rozkład wyrażeń wykładniczych na składniki liniowe. Zrozumienie logarytmów oznacza zrozumienie relacji między wzrostem, potęgami i odwrotnością potęgowania.