© 2025 Astra.si. Wszelkie prawa zastrzeżone.
Dla następnego pokolenia.
© 2025 Astra.si. Wszelkie prawa zastrzeżone.
Dla następnego pokolenia.
W analizie matematycznej mamy do czynienia z kilkoma rodzajami funkcji podstawowych, które pojawiają się przy znajdowaniu pochodnych. Oprócz wielomianów ważne funkcje obejmują funkcje wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne i ich formy odwrotne. Nazywane są one funkcjami elementarnymi, ponieważ reprezentują budulec większości bardziej złożonych wyrażeń. Każda z nich ma swoją własną regułę różniczkowania, opartą na matematycznych właściwościach funkcji.
Dla funkcji postaci f(x) = a^x, gdzie 'a' jest liczbą dodatnią różną od 1, pochodna jest dana jako: f'(x) = a^x * ln(a).
Szczególnym przypadkiem jest funkcja f(x) = e^x, gdzie e ≈ 2,718 (liczba Eulera), dla której: f'(x) = e^x. Ta funkcja pozostaje niezmieniona po zróżniczkowaniu.
Funkcja f(x) = log_a(x), gdzie a > 0 i a != 1, ma pochodną: f'(x) = 1 / (x * ln(a)).
Dla logarytmu naturalnego, tj. f(x) = ln(x), obowiązuje uproszczona reguła: f'(x) = 1 / x, ważna dla x > 0. Funkcje logarytmiczne nie są zdefiniowane dla ujemnych wartości x lub dla x = 0.
Pochodne podstawowych funkcji trygonometrycznych to:
d/dx (sin(x)) = cos(x)
d/dx (cos(x)) = -sin(x)
d/dx (tan(x)) = 1 / cos^2(x) = sec^2(x), dla x != (2k + 1)π/2 (gdzie k jest liczbą całkowitą)
d/dx (ctg(x)) = -1 / sin^2(x) = -csc^2(x), dla x != kπ (gdzie k jest liczbą całkowitą)
Funkcje tangens i cotangens mają punkty, gdzie nie są zdefiniowane, więc ich pochodne tam nie istnieją.
Odwrotne funkcje trygonometryczne mają następujące pochodne:
d/dx (arcsin(x)) = 1 / sqrt(1 - x^2), dla |x| < 1
d/dx (arccos(x)) = -1 / sqrt(1 - x^2), dla |x| < 1
d/dx (arctan(x)) = 1 / (1 + x^2), dla wszystkich rzeczywistych x
Te funkcje są używane podczas rozwiązywania problemów obejmujących złożenia funkcji lub gdy istnieje potrzeba odwrócenia wyrażeń trygonometrycznych.
Różne typy funkcji elementarnych wymagają znajomości ich specyficznych reguł różniczkowania. Każdy typ funkcji ma swoją przepisaną regułę, opartą na strukturze funkcji i jej dziedzinie. Zrozumienie tych reguł jest niezbędne dla bardziej złożonego traktowania wyrażeń w analizie matematycznej.
