© 2025 Astra.si. Wszelkie prawa zastrzeżone.
Dla następnego pokolenia.
© 2025 Astra.si. Wszelkie prawa zastrzeżone.
Dla następnego pokolenia.
Aby zrozumieć zachowanie funkcji i określić jej kluczowe właściwości, używamy analizy jej pochodnej. Jedną z najważniejszych właściwości, które w ten sposób odkrywamy, jest to, gdzie funkcja jest rosnąca, gdzie jest malejąca i gdzie ma swoje wartości ekstremalne. Służą temu tak zwane punkty stacjonarne, które są określane za pomocą pierwszej pochodnej.
Niech 'f' będzie funkcją różniczkowalną. Punkt x₀ jest stacjonarny, jeśli f'(x₀) = 0. W takim punkcie styczna do wykresu funkcji zmienia się z rosnącej na malejącą lub odwrotnie – lub pozostaje pozioma.
Punkty stacjonarne mogą być:
Minimum lokalne, jeśli funkcja w tym punkcie osiąga najmniejszą wartość w pewnym otoczeniu.
Maksimum lokalne, jeśli osiąga największą wartość w otoczeniu.
Punkt przegięcia (lub punkt siodłowy), jeśli kierunek funkcji się nie zmienia (np. pozostaje rosnąca), ale kształt wykresu (wklęsłość) zmienia się wokół tego punktu. (Uwaga: Punkty przegięcia są bardziej formalnie identyfikowane za pomocą drugiej pochodnej lub zmian wklęsłości, ale pozioma styczna w punkcie przegięcia oznacza f'(x)=0).
Używając pochodnej, możemy również określić przedziały, gdzie funkcja jest rosnąca lub malejąca:
Jeśli f'(x) > 0 dla wszystkich x w pewnym przedziale, to funkcja jest rosnąca w tym przedziale.
Jeśli f'(x) < 0 dla wszystkich x w pewnym przedziale, funkcja jest malejąca w tym przedziale.
Jeśli f'(x) = 0 w pojedynczych punktach, są to potencjalne punkty stacjonarne.
Te informacje są często zbierane w tabeli znaków pochodnej, która pomaga w szkicowaniu wykresu funkcji.
Najpierw znajdźmy pochodną: f'(x) = 3x² - 6x.
Następnie rozwiązujemy równanie f'(x) = 0: 3x² - 6x = 0, zatem x(3x - 6) = 0, czyli x = 0 lub x = 2. To są punkty stacjonarne.
Następnie sprawdzamy znak pochodnej w przedziałach określonych przez te punkty:
Dla x < 0: Wybieramy wartość testową, np. x = -1. f'(-1) = 3(-1)² - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0, zatem funkcja jest rosnąca.
Dla 0 < x < 2: Wybieramy wartość testową, np. x = 1. f'(1) = 3(1)² - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0, zatem funkcja jest malejąca.
Dla x > 2: Wybieramy wartość testową, np. x = 3. f'(3) = 3(3)² - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0, zatem funkcja jest ponownie rosnąca.
Z tego wnioskujemy, że przy x = 0 jest maksimum lokalne, a przy x = 2 jest minimum lokalne.
Punkty stacjonarne są kluczowe w analizie funkcji, ponieważ wyznaczają miejsca, w których zmienia się kierunek wykresu. Używając pochodnej, określamy, gdzie funkcja jest rosnąca lub malejąca, co pozwala na precyzyjne zrozumienie jej zachowania i przebiegu.
