Iloczyn skalarny (iloczyn kropkowy)

Podstawowa definicja

Iloczyn skalarny (znany również jako iloczyn kropkowy) to algebraiczne działanie między dwoma wektorami, które zwraca liczbę rzeczywistą (skalar). W przeciwieństwie do iloczynu wektorowego (iloczynu krzyżowego), który zwraca nowy wektor, iloczyn skalarny wyraża relację dotyczącą kierunku dwóch wektorów. Jest używany do obliczania rzutu jednego wektora na drugi i do określania ortogonalności (prostopadłości).

Dla wektorów a = (x_1, y_1, z_1) i b = (x_2, y_2, z_2) iloczyn skalarny jest zdefiniowany jako:

a · b = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1*z_2

W płaszczyźnie (jeśli składowe z wynoszą 0) wzór upraszcza się do:

a · b = x_1x_2 + y_1y_2

Interpretacja geometryczna

Iloczyn skalarny można również wyrazić za pomocą wielkości (długości) wektorów i kąta między nimi:

a · b = |a| * |b| * cos(fi),

gdzie fi to kąt między wektorami a i b, a 0° <= fi <= 180° (lub 0 <= fi <= pi radianów).

Z tego wynika:

Jeśli a · b > 0, kąt między wektorami jest ostry (mniejszy niż 90°).

Jeśli a · b < 0, kąt jest rozwarty (większy niż 90°).

Jeśli a · b = 0 (i żaden wektor nie jest wektorem zerowym), wektory są prostopadłe (ortogonalne, kąt wynosi 90°).

Przykład

Niech dane będą wektory: a = (2, 1, -3), b = (-1, 4, 2)

Iloczyn skalarny wynosi: a · b = 2*(-1) + 1*4 + (-3)*2 = -2 + 4 - 6 = -4.

Ponieważ wynik jest ujemny, kąt między wektorami jest rozwarty (większy niż 90°).

Właściwości

PRZEMIENNOŚĆ: a · b = b · a

ROZDZIELNOŚĆ WZGLĘDEM DODAWANIA WEKTORÓW: a · (b + c) = a · b + a · c

MNOŻENIE PRZEZ SKALAR: (ka) · b = a · (kb) = k(a · b)

Jeśli przynajmniej jeden wektor jest wektorem zerowym, to ich iloczyn skalarny wynosi 0.

Iloczyn skalarny wektora z wektorem jednostkowym zwraca rzut tego wektora na kierunek wektora jednostkowego (pomnożony przez wielkość oryginalnego wektora, jeśli to nie jest rzut wektora jednostkowego). Dokładniej, rzut wektora a na wektor b to ((a · b) / |b|^2) * b.

Podsumowanie

Iloczyn skalarny jest ważnym działaniem w algebrze wektorowej, ponieważ łączy algebraiczne i geometryczne reprezentacje wektorów. Pozwala na sprawdzanie ortogonalności, obliczanie kątów i rzutów oraz służy jako fundament w wielu kontekstach geometrycznych i fizycznych.