© 2025 Astra.si. Wszelkie prawa zastrzeżone.
Dla następnego pokolenia.
© 2025 Astra.si. Wszelkie prawa zastrzeżone.
Dla następnego pokolenia.
Zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych tworzy ważną strukturę algebraiczną, która pozwala na wykonywanie podstawowych działań arytmetycznych. Każdy wielomian można zapisać jako: P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_n*x^n, gdzie a_i należy do R, a n należy do N_0. Te wyrażenia można dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić przez inne wielomiany. Wynik każdego z tych działań (z wyjątkiem dzielenia z resztą) jest ponownie wielomianem.
Wielomiany dodaje się lub odejmuje wyraz po wyrazie, co oznacza, że łączymy współczynniki przy tej samej potędze zmiennej.
Przykład: P(x) = 2x^2 + 3x - 1, Q(x) = x^2 - 5x + 4
P(x) + Q(x) = (2x^2 + x^2) + (3x - 5x) + (-1 + 4) = 3x^2 - 2x + 3
Odejmowanie działa w ten sam sposób, uwzględniając zmianę znaków.
Mnożenie podąża za prawem rozdzielności: każdy wyraz pierwszego wielomianu jest mnożony przez każdy wyraz drugiego, a następnie wynik jest upraszczany.
Przykład: P(x) = x + 2, Q(x) = x - 3
P(x)Q(x) = xx + x*(-3) + 2x + 2(-3) = x^2 - x - 6
W zbiorze wielomianów o współczynnikach rzeczywistych wynik jest zawsze nowym wielomianem.
Dzielenie jednego wielomianu przez drugi (niższego lub równego stopnia) działa podobnie do dzielenia liczb, używając procesu dzielenia długiego z resztą.
Przykład: Podziel P(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2 przez D(x) = x - 1
Wykonując dzielenie, otrzymujemy: P(x) = (x - 1)*(x^2 + 3x + 2) + 0
Wynik: iloraz to x^2 + 3x + 2, a reszta to 0.
Jeśli reszta nie jest zerowa, można ją zapisać jako ułamek: P(x)/D(x) = iloraz + (reszta / D(x))
Dla wielomianów obowiązują następujące właściwości:
Dodawanie i mnożenie są działaniami przemiennymi i łącznymi.
Istnieje element neutralny dla dodawania (wielomian zerowy) i dla mnożenia (wielomian 1).
Mnożenie jest rozdzielne względem dodawania.
Działania w zbiorze wielomianów są podstawowymi operacjami algebraicznymi wykonywanymi w ramach ujednoliconej struktury matematycznej. Te działania podążają za właściwościami systemów liczbowych i tworzą fundament dla dalszych studiów równań, funkcji i struktur algebraicznych. Każde działanie, od dodawania po dzielenie, zachowuje strukturę i systematyczność charakterystyczną dla wielomianów.
