© 2025 Astra.si. Wszelkie prawa zastrzeżone.
Dla następnego pokolenia.
© 2025 Astra.si. Wszelkie prawa zastrzeżone.
Dla następnego pokolenia.
Znajdowanie miejsc zerowych wielomianu oznacza rozwiązanie równania P(x) = 0, gdzie P(x) jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych lub wymiernych. Celem jest określenie wszystkich wartości x, dla których wielomian ma wartość 0. Te wartości są kluczowe dla rozkładu na czynniki, reprezentacji graficznej i dalszych procedur algebraicznych, takich jak dzielenie i upraszczanie wyrażeń.
Wielomian stopnia 'n' ma co najwyżej 'n' rzeczywistych lub zespolonych miejsc zerowych, licząc krotności.
Jeśli wszystkie wyrazy mają wspólny czynnik, najpierw wyłącz go przed nawias, aby uprościć wielomian.
Przykład: P(x) = x^3 - x^2 = x^2(x - 1), zatem miejsca zerowe: x = 0 (z krotnością 2), x = 1.
Jeśli wielomian można przepisać jako iloczyn czynników niższego stopnia, miejsca zerowe można znaleźć z każdego czynnika.
Przykład: P(x) = (x - 2)(x + 3)(x - 1), zatem miejsca zerowe: x = 2, x = -3, x = 1.
Jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma wymierne miejsca zerowe, są one postaci: x = ±p/q, gdzie 'p' jest dzielnikiem wyrazu wolnego (a_0), a 'q' jest dzielnikiem współczynnika wiodącego (a_n).
Przykład: P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6. Możliwe wymierne miejsca zerowe (dzielniki 6 podzielone przez dzielniki 1): ±1, ±2, ±3, ±6.
Testując: P(1) = 1^3 - 2(1)^2 - 5(1) + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0, zatem x = 1 jest miejscem zerowym.
Gdy jedno miejsce zerowe 'c' jest znane, wielomian można podzielić przez (x - c) za pomocą schematu Hornera (lub dzielenia syntetycznego), aby znaleźć pozostały iloraz, którego miejsc zerowych można następnie szukać.
Przykład: P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6. Testuj P(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0, zatem x = 1 jest miejscem zerowym.
Podziel P(x) przez (x - 1): Iloraz wynosi x^2 - 5x + 6.
Rozkładając trójmian kwadratowy: x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3), zatem miejsca zerowe ilorazu to x = 2, x = 3.
Końcowe miejsca zerowe: x = 1, x = 2, x = 3.
WIELOMIAN KWADRATOWY: P(x) = ax^2 + bx + c, miejsca zerowe za pomocą wzoru: x = (-b ± Pierwiastek(b^2 - 4ac)) / 2a
WIELOMIANY SZEŚCIENNE LUB WYŻSZEGO STOPNIA: Jeśli rozkład na czynniki lub twierdzenie o pierwiastkach wymiernych nie są proste, mogą być wymagane metody numeryczne lub bardziej zaawansowane techniki.
Miejsca zerowe można również aproksymować, patrząc na wykres funkcji f(x) = P(x) - punkty, w których wykres przecina oś x, odpowiadają rzeczywistym miejscom zerowym.
Znajdowanie miejsc zerowych wielomianu to systematyczny proces oparty na rozkładzie na czynniki, testowaniu wartości wymiernych, dzieleniu i używaniu znanych wzorów. Znajomość metod wyznaczania miejsc zerowych pozwala na zrozumienie struktury wielomianu, jego rozkładu na czynniki i przygotowania do rozwiązywania bardziej złożonych równań.
