Całkowanie przez części

Wprowadzenie do specjalnej metody całkowania

Całkowanie przez części (łac. per partes) to jedna z ważniejszych technik obliczania całek nieoznaczonych. Opiera się na regule iloczynu dla różniczkowania i pozwala na rozwiązywanie całek, gdzie całkowana funkcja jest iloczynem dwóch wyrażeń, które nie są niezależnie łatwe do całkowania.

Wzór na całkowanie przez części

Niech f(x)*g(x) będzie iloczynem dwóch różniczkowalnych funkcji. Wtedy: Całka z f(x)*g'(x) dx = f(x)*g(x) - Całka z f'(x)*g(x) dx.

W częściej używanej formie wzór jest zazwyczaj zapisywany jako:

Całka z u dv = u * v - Całka z v du,

gdzie:

u jest funkcją, którą różniczkujemy (więc du = u' dx),

dv jest funkcją (lub częścią całkowanej funkcji zawierającą dx), którą całkujemy (więc v = Całka z dv).

Sukces metody polega na mądrym wyborze 'u' i 'dv' takim, że całka Całka z v du staje się prostsza niż oryginalna całka Całka z u dv.

Wybór funkcji u i dv

Do wyboru funkcji często bierze się pod uwagę regułę LIATE jako wytyczną (Logarytmiczna, Odwrotna trygonometryczna, Algebraiczna, Trygonometryczna, Wykładnicza), gdzie funkcje wyżej na liście są preferowanymi wyborami dla 'u'. Dzieje się tak, ponieważ pochodne funkcji logarytmicznych i odwrotnych trygonometrycznych są algebraiczne, a funkcje algebraiczne stają się prostsze, gdy są wielokrotnie różniczkowane. Funkcje wykładnicze i trygonometryczne często cyklują się, gdy są różniczkowane lub całkowane.

Przykład: Całka z x * e^x dx

Wybierz:

u = x, więc du = dx

dv = e^x dx, więc v = Całka z e^x dx = e^x

Zastosuj wzór: Całka z x * e^x dx = x * e^x - Całka z e^x * dx = x * e^x - e^x + C

Rozwiązanie: Całka z x * e^x dx = e^x*(x - 1) + C.

Przykład: Całka z ln(x) dx

Tutaj używamy specjalnej postaci, gdzie ln(x) jest traktowany jako 'u', a 'dv' jest przyjęty jako 'dx'. Zapisujemy Całka z ln(x) dx jako: Całka z ln(x) * 1 dx.

Wybierz:

u = ln(x), więc du = (1/x) dx

dv = 1 dx, więc v = Całka z 1 dx = x

Wynika: Całka z ln(x) dx = x * ln(x) - Całka z x * (1/x) dx = x * ln(x) - Całka z 1 dx = x * ln(x) - x + C.

Podsumowanie

Całkowanie przez części to kluczowa metoda rozwiązywania całek iloczynów funkcji. Za pomocą reguły Całka z u dv = u*v - Całka z v du przekształcamy trudniejszą całkę w łatwiejszą, gdzie sukces metody zależy od prawidłowego wyboru funkcji 'u' i 'dv'. Ta technika jest często używana wielokrotnie z rzędu lub w połączeniu z innymi metodami całkowania.