© 2025 Astra.si. Wszelkie prawa zastrzeżone.
Dla następnego pokolenia.
© 2025 Astra.si. Wszelkie prawa zastrzeżone.
Dla następnego pokolenia.
Największy wspólny dzielnik (NWD) i najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) to ważne pojęcia w teorii liczb. NWD i NWW pozwalają na znajdowanie liczbowych połączeń między kilkoma liczbami naturalnymi i są kluczowe w rozkładzie liczb na czynniki i pracy z ułamkami.
Największy wspólny dzielnik dwóch lub więcej liczb to największa liczba, która dzieli wszystkie dane liczby bez reszty. Jest oznaczany jako NWD(a, b).
Przykład: Dla liczb 24 i 36 znajdźmy wszystkie dzielniki:
Dzielniki liczby 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Dzielniki liczby 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Największy wspólny dzielnik to NWD(24, 36) = 12.
METODA ROZKŁADU NA CZYNNIKI PIERWSZE:
24 = 2^3 * 3
36 = 2^2 * 3^2
Wspólne czynniki (weź najniższą potęgę wspólnych czynników pierwszych): 2^2 * 3^1 = 4 * 3 = 12.
ALGORYTM EUKLIDESA (dla dwóch liczb a i b, gdzie a > b): NWD(a, b) = NWD(b, reszta z a / b). Powtarzaj proces, aż reszta wyniesie 0. Ostatnia niezerowa reszta jest NWD.
Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch lub więcej liczb to najmniejsza liczba, która jest wielokrotnością wszystkich danych liczb. Jest oznaczana jako NWW(a, b).
Przykład: Dla liczb 4 i 6 znajdźmy ich wielokrotności:
Wielokrotności liczby 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...
Wielokrotności liczby 6: 6, 12, 18, 24, 30, ...
Najmniejsza wspólna wielokrotność to NWW(4, 6) = 12.
METODA ROZKŁADU NA CZYNNIKI PIERWSZE:
4 = 2^2
6 = 2 * 3
Weź wszystkie czynniki pierwsze z obu liczb, używając najwyższej potęgi każdego czynnika, który się pojawia: 2^2 * 3 = 4 * 3 = 12.
WZÓR UŻYWAJĄCY NWD: NWW(a, b) = (|a * b|) / NWD(a, b). Dla NWW(24, 36): NWW(24, 36) = (24 * 36) / 12 = 864 / 12 = 72.
Największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność są powiązane równaniem:
NWD(a, b) * NWW(a, b) = |a * b|
Oznacza to, że iloczyn NWD i NWW dwóch liczb jest zawsze równy wartości bezwzględnej iloczynu tych dwóch liczb.
Największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność to kluczowe pojęcia w teorii liczb, które pozwalają na uproszczenie operacji arytmetycznych. NWD pomaga w znajdowaniu wspólnych dzielników, podczas gdy NWW pomaga w określaniu wspólnych wielokrotności.
