© 2025 Astra.si. Wszelkie prawa zastrzeżone.
Dla następnego pokolenia.
© 2025 Astra.si. Wszelkie prawa zastrzeżone.
Dla następnego pokolenia.
Funkcja logarytmiczna jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej. Jest zapisywana w postaci: f(x) = log_a(x), gdzie 'a' jest podstawą logarytmu, a > 0 i a != 1. Funkcja jest zdefiniowana dla x > 0, ponieważ logarytm nie jest zdefiniowany dla zera ani liczb ujemnych w liczbach rzeczywistych.
Interpretacja matematyczna: Jeśli f(x) = log_a(x), to oznacza to: a^(f(x)) = x, co oznacza, że logarytm mówi nam, do jakiej potęgi należy podnieść podstawę 'a', aby otrzymać liczbę 'x'.
DZIEDZINA (Df): (0, nieskończoność) (dodatnie liczby rzeczywiste)
ZBIÓR WARTOŚCI (Zf): R (wartości logarytmu mogą być dowolną liczbą rzeczywistą)
Funkcja jest ciągła i ściśle monotoniczna (rosnąca lub malejąca, w zależności od podstawy 'a').
Jeśli a > 1, funkcja jest rosnąca.
Jeśli 0 < a < 1, funkcja jest malejąca.
W obu przypadkach zachodzą następujące zależności:
f(1) = log_a(1) = 0
lim (gdy x → 0+) log_a(x) = -nieskończoność
lim (gdy x → nieskończoność) log_a(x) = nieskończoność (jeśli a > 1) lub = -nieskończoność (jeśli 0 < a < 1)
Funkcja ma miejsce zerowe tylko w punkcie x = 1, gdzie zawsze zachodzi log_a(1) = 0.
Ma asymptotę pionową przy x = 0, ponieważ funkcja logarytmiczna dąży do -nieskończoności, gdy x zbliża się do 0 od prawej strony.
Jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej: jeśli f(x) = log_a(x), to f^(-1)(x) = a^x.
log(x) – logarytm dziesiętny (o podstawie 10)
ln(x) – logarytm naturalny (o podstawie e ≈ 2,718)
Niech f(x) = log_2(x):
f(1) = 0
f(2) = 1
f(8) = 3
f(0,5) = -1
Funkcja jest rosnąca; wszystkie wartości x > 0 mają odpowiadający im logarytm.
Funkcja logarytmiczna jest niezbędnym pojęciem w matematyce, ponieważ pozwala na rozwiązywanie równań z niewiadomymi w wykładniku oraz na radzenie sobie z odwrotnymi relacjami między wielkościami. Dokładnie opisuje wolny wzrost lub spadek i jest lustrzanym odbiciem funkcji wykładniczej względem prostej y = x. Ze względu na swoje cechy jest niezbędna w równaniach logarytmicznych, analizie i modelowaniu procesów matematycznych.
