© 2025 Astra.si. Wszelkie prawa zastrzeżone.
Dla następnego pokolenia.
W pierwszym zestawie wzorów logarytmicznych poznaliśmy podstawowe reguły dla iloczynów, ilorazów, potęg, zmiany podstawy oraz szczególnych przypadków logarytmu jedności i logarytmu podstawy. Teraz pogłębimy nasze zrozumienie tych wzorów, szczególnie w kontekście wyrażeń złożonych, wykładników ujemnych, pierwiastków, wartości bezwzględnej i logarytmowania obu stron równania.
Ponieważ pierwiastek można zapisać jako potęgę, używamy reguły potęgi: Pierwiastek(x) = x^(1/2), zatem: log_b(Pierwiastek(x)) = log_b(x^(1/2)) = (1/2) * log_b(x)
Dla pierwiastka n-tego stopnia: Pierwiastek n-tego stopnia z x = x^(1/n), zatem: log_b(Pierwiastek n-tego stopnia z x) = (1/n) * log_b(x)
Przykład: log_3(Pierwiastek(9)) = log_3(9^(1/2)) = (1/2) * log_3(9) = (1/2) * 2 = 1
Jeśli mamy logarytm potęgi z wykładnikiem ujemnym, również stosujemy regułę potęgi: log_b(x^(-n)) = -n * log_b(x)
Przykład: log_10(10^(-2)) = -2 * log_10(10) = -2 * 1 = -2
Logarytm jest zdefiniowany tylko dla dodatnich argumentów; dlatego w niektórych kontekstach używamy wartości bezwzględnej: Gdy wyrażona jest ogólna postać funkcji, często zdarza się, że dla wyrażenia takiego jak log_b(|x|) definicja jest ważna dla ujemnych wartości x, ponieważ bierzemy tylko logarytm części dodatniej (wartość bezwzględną).
Przykład: log_10(-5) → nie jest zdefiniowany w liczbach rzeczywistych, log_10(|-5|) = log_10(5) → jest zdefiniowany
Ważną techniką rozwiązywania równań, gdzie niewiadoma jest w wykładniku, jest logarytmowanie obu stron: Jeśli a^x = b, to możemy zastosować logarytm o dowolnej wygodnej podstawie (zwykle log o podstawie 10 lub ln o podstawie e) do obu stron: log(a^x) = log(b)
Używając reguły potęgi, otrzymujemy: x * log(a) = log(b), zatem: x = log(b) / log(a)
Przykład: 3^x = 81. Logarytmujemy obie strony przy podstawie 10: log_10(3^x) = log_10(81). Stosujemy regułę potęgi: x * log_10(3) = log_10(81). Rozwiązujemy dla x: x = log_10(81) / log_10(3) ≈ 1,908 / 0,477 ≈ 4 (Alternatywnie zauważamy, że 81 = 3^4, więc 3^x = 3^4, zatem x = 4 bezpośrednio przez przyrównanie wykładników, jeśli podstawy są takie same).
Pierwiastek można zapisać jako potęgę z wykładnikiem 1/n (np. Pierwiastek n-tego stopnia z x = x^(1/n)).
Logarytm liczby ujemnej nie jest zdefiniowany w liczbach rzeczywistych.
W wyrażeniach zawierających potęgę wewnątrz logarytmu wykładnik jest przenoszony przed logarytm jako mnożnik.
Logarytmowanie obu stron równania jest kluczowe dla rozwiązywania równań wykładniczych.
Druga grupa wzorów logarytmicznych rozszerza podstawową wiedzę w kierunku rozwiązywania bardziej złożonych wyrażeń i równań. Używając logarytmów pierwiastków, wykładników ujemnych, wartości bezwzględnej oraz logarytmując obie strony równań, zdobywamy zaawansowane narzędzia, które są niezbędne do pracy z wyrażeniami wykładniczymi i funkcją logarytmiczną. Te wzory są szczególnie ważne dla analitycznego rozwiązywania problemów, modelowania danych i przygotowania do bardziej złożonych treści matematycznych.
