© 2025 Astra.si. Wszelkie prawa zastrzeżone.
Dla następnego pokolenia.
© 2025 Astra.si. Wszelkie prawa zastrzeżone.
Dla następnego pokolenia.
Podczas badania funkcji i ich wykresów często interesuje nas orientacja prostej, która "dotyka" wykresu w określonym punkcie. Ta prosta nazywana jest styczną. Prosta prostopadła do stycznej w tym samym punkcie nazywana jest prostą normalną. Obie proste są zdefiniowane przez swoje nachylenie (lub współczynnik kierunkowy), które mierzy nachylenie prostej względem osi poziomej.
Styczna do wykresu funkcji w określonym punkcie to prosta, która dotyka wykresu w tym punkcie i ma takie samo nachylenie jak funkcja w tym punkcie. Nachylenie stycznej w punkcie x₀ jest równe wartości pochodnej funkcji f w x₀, zatem:
k_t = f'(x₀) (gdzie k_t to nachylenie stycznej)
Oznacza to, że jeśli mamy daną funkcję f i obliczymy jej pochodną, wartość pochodnej w wybranym punkcie daje nam nachylenie stycznej.
Prosta normalna to prosta, która przechodzi przez ten sam punkt co styczna, ale jest do niej prostopadła. Jeśli styczna jest rosnąca, prosta normalna jest malejąca i odwrotnie. Matematycznie nachylenie prostej normalnej jest dane przez:
k_n = -1 / f'(x₀), pod warunkiem że f'(x₀) != 0. (gdzie k_n to nachylenie prostej normalnej)
Zatem nachylenie prostej normalnej jest zdefiniowane tylko w punktach, gdzie styczna jest zdefiniowana, a jej nachylenie nie jest równe 0. Jeśli f'(x₀) = 0, to styczna jest pozioma, a prosta normalna jest pionowa (i nie ma zdefiniowanego nachylenia w postaci y=mx+b).
Najpierw obliczamy pochodną: f'(x) = 2x. Przy x = 1 pochodna wynosi f'(1) = 2(1) = 2.
Zatem nachylenie stycznej wynosi k_t = 2. Nachylenie prostej normalnej wynosi: k_n = -1 / 2.
Punkt na wykresie to (1, f(1)) = (1, 1² ) = (1, 1). Równanie stycznej w punkcie (1, 1) to: y - y₁ = k_t(x - x₁), czyli y - 1 = 2(x - 1), zatem y = 2x - 2 + 1, czyli y = 2x - 1.
Równanie prostej normalnej w punkcie (1, 1) to: y - y₁ = k_n(x - x₁), czyli y - 1 = (-1/2)(x - 1), zatem y = (-1/2)x + 1/2 + 1, czyli y = -0,5x + 1,5.
Nachylenie stycznej jest równe wartości pochodnej funkcji w określonym punkcie. Prosta normalna, będąc prostopadła do stycznej, ma nachylenie będące ujemną odwrotnością nachylenia stycznej, pod warunkiem że nachylenie stycznej istnieje i jest różne od zera. Oba nachylenia są kluczowe w opisywaniu lokalnej geometrii wykresu funkcji.
