Funkcje trygonometryczne

Definicja i związek z okręgiem jednostkowym

Funkcje trygonometryczne to funkcje kąta, które obliczają stosunki między bokami trójkąta prostokątnego lub wartościami współrzędnych na okręgu jednostkowym. Są zdefiniowane dla kątów rzeczywistych (w radianach lub stopniach) i powtarzają się okresowo. Podstawowe funkcje trygonometryczne to:

sinus (sin)

cosinus (cos)

tangens (tan)

cotangens (ctg)

Wszystkie cztery są zdefiniowane dla różnych zbiorów wartości kątów, przy czym tangens i cotangens mają określone punkty, gdzie nie są zdefiniowane (gdzie występuje dzielenie przez zero).

Definicja geometryczna

W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym α:

sin α = przyprostokątna przeciwległa / przeciwprostokątna

cos α = przyprostokątna przyległa / przeciwprostokątna

tan α = przyprostokątna przeciwległa / przyprostokątna przyległa

ctg α = przyprostokątna przyległa / przyprostokątna przeciwległa

Te definicje są ważne dla kątów między 0° a 90° lub 0 a π/2 radiany. Dla szerszych wartości funkcje trygonometryczne są definiowane za pomocą okręgu jednostkowego.

Okrąg jednostkowy

Na okręgu jednostkowym (promień = 1), dla kąta α:

Punkt na okręgu ma współrzędne (cos α, sin α).

tan α = sin α / cos α, jeśli cos α != 0.

ctg α = cos α / sin α, jeśli sin α != 0.

Funkcje są zdefiniowane dla wszystkich kątów rzeczywistych, z wyjątkiem punktów, gdzie występuje dzielenie przez zero.

Podstawowe właściwości

sin α i cos α są ograniczone między -1 a 1.

tan α i ctg α są nieograniczone.

sin α jest funkcją nieparzystą (sin(-α) = -sin(α)), cos α jest funkcją parzystą (cos(-α) = cos(α)).

Funkcje są okresowe:

sin i cos: okres 2π

tan i ctg: okres π

Wartości dla kątów szczególnych

Dla kątów 0, π/6 (30°), π/4 (45°), π/3 (60°), π/2 (90°), wartości są znane i często używane:

sin(π/6) = 1/2, cos(π/6) = sqrt(3)/2

sin(π/4) = sqrt(2)/2, cos(π/4) = sqrt(2)/2

sin(π/3) = sqrt(3)/2, cos(π/3) = 1/2

Z nich można obliczyć tan i ctg, gdzie są zdefiniowane.

Tożsamości trygonometryczne

TOŻSAMOŚĆ PITAGOREJSKA: sin^2 α + cos^2 α = 1

TANGENS I SINUS/COSINUS: tan α = sin α / cos α

COTANGENS I COSINUS/SINUS: ctg α = cos α / sin α

WŁAŚCIWOŚCI SYMETRII: sin(-α) = -sin α, cos(-α) = cos α

Podsumowanie

Funkcje trygonometryczne opisują podstawowe stosunki między bokami trójkąta prostokątnego lub wartościami na okręgu jednostkowym. Są okresowe, ciągłe (z wyjątkiem miejsc, gdzie nie są zdefiniowane) i fundamentalne dla analizy trygonometrycznej. Ich zachowanie jest precyzyjnie określone przez symetrię, tożsamości i ich związek z układem współrzędnych.