Wykres - sinus i cosinus

Wprowadzenie do funkcji okresowych

W matematyce często spotykamy się z funkcjami, które powtarzają się okresowo. Wśród najważniejszych przedstawicieli takich funkcji są funkcje sinus i cosinus. Obie należą do funkcji trygonometrycznych, których główną cechą jest okresowość, ponieważ ich wartości powtarzają się w regularnych odstępach. Oznacza to, że istnieje stała T, dla której f(x + T) = f(x) dla wszystkich wartości zmiennej x.

Kształt i właściwości funkcji sinus

Funkcja sinus jest zazwyczaj zapisywana jako f(x) = sin(x). Jej wykres ma kształt falowy, który zaczyna się w początku układu współrzędnych (0, 0), rośnie do maksymalnej wartości 1 przy x = π/2, wraca do początku przy x = π, następnie spada do minimalnej wartości -1 przy x = 3π/2 i kończy jeden pełny okres przy x = 2π. Okres funkcji wynosi zatem 2π. Wartości funkcji są ograniczone między -1 a 1, co oznacza, że jej zbiór wartości to przedział [-1, 1].

Kształt i właściwości funkcji cosinus

Funkcja cosinus jest dana jako f(x) = cos(x). Jej kształt jest podobny do funkcji sinus, ale jej wykres zaczyna się od maksymalnej wartości 1 przy x=0, osiąga 0 przy x = π/2, spada do -1 przy x = π, osiąga ponownie 0 przy x = 3π/2 i kończy swój okres przy 1, gdy x = 2π. Tutaj również okres wynosi 2π, a wartości również mieszczą się w przedziale [-1, 1]. Ta funkcja jest parzysta, co oznacza cos(-x) = cos(x).

Forma ogólna i parametry

Obie funkcje można zapisać w bardziej ogólnej postaci: f(x) = A * sin(Bx + C) + D lub f(x) = A * cos(Bx + C) + D.

Parametry mają następujące znaczenie:

A określa amplitudę, tj. maksymalne odchylenie od osi centralnej (jeśli A = 2, to wykres oscyluje między -2 a 2, zakładając D=0).

B wpływa na okresowość: nowy okres staje się 2π / |B|.

C wpływa na przesunięcie poziome (przesunięcie fazowe). Dodatnie C często wskazuje na przesunięcie w lewo, ale zależy to od tego, jak rozłożone jest Bx+C (np. B(x + C/B)).

D przesuwa wykres pionowo w górę lub w dół (przesunięcie pionowe).

Przykład obliczenia i wykresu

Weźmy funkcję f(x) = 2 * sin(x - π/2) + 1. Tutaj:

A = 2, więc amplituda wynosi 2.

B = 1, więc okres pozostaje 2π.

Wyrażenie (x - π/2) wskazuje na przesunięcie fazowe. C (jeśli myślimy Bx+C) byłoby związane z -π/2. Konkretnie, x - π/2 oznacza, że wykres jest przesunięty w prawo o π/2.

D = 1, więc cały wykres jest przesunięty w górę o 1 jednostkę.

Wykres tej funkcji zatem mieści się między 2*(-1)+1 = -1 a 2*(1)+1 = 3 i ma ten sam podstawowy kształt co funkcja sinus, ale jest przesunięty i rozciągnięty pionowo.

Podsumowanie

Omawiane wykresy są fundamentalnymi przykładami funkcji okresowych w matematyce. Ich regularny kształt, symetria i przejrzysta struktura pozwalają na łatwą analizę i transformację, umożliwiając głębsze zrozumienie ich zachowania w różnych kontekstach.