© 2025 Astra.si. Wszelkie prawa zastrzeżone.
Dla następnego pokolenia.
© 2025 Astra.si. Wszelkie prawa zastrzeżone.
Dla następnego pokolenia.
Funkcja wymierna to funkcja, którą można zapisać jako iloraz dwóch wielomianów. Ogólna postać funkcji wymiernej to: f(x) = P(x) / Q(x), gdzie P(x) i Q(x) są wielomianami, a Q(x) != 0. Te funkcje mają ważne charakterystyki, takie jak miejsca zerowe, asymptoty i punkty szczególne, które określają ich zachowanie na osi liczbowej.
Funkcja wymierna jest zdefiniowana dla wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem tych wartości x, dla których mianownik Q(x) jest równy 0. Na przykład, jeśli Q(x) = x - 3, to funkcja nie jest zdefiniowana dla x = 3.
Miejsca zerowe funkcji otrzymuje się przez rozwiązanie równania P(x) = 0 (zakładając, że Q(x) również nie jest zerem w tych punktach po uproszczeniu). Oznacza to, że miejsca zerowe to wartości x, dla których licznik funkcji staje się zerem.
Asymptoty pionowe występują tam, gdzie mianownik Q(x) = 0 po skróceniu wszelkich wspólnych czynników z licznikiem P(x). Przy tych wartościach x funkcja jest niezdefiniowana, a jej wykres dąży do nieskończoności lub minus nieskończoności. Na przykład, jeśli f(x) = 1 / (x - 2), to funkcja ma asymptotę pionową przy x = 2.
Asymptoty poziome zależą od stopni wielomianów w liczniku i mianowniku:
Jeśli stopień licznika P(x) jest mniejszy niż stopień mianownika Q(x), asymptota pozioma znajduje się przy y = 0.
Jeśli stopnie są równe, asymptota pozioma to stosunek współczynników wiodących wielomianów.
Jeśli stopień licznika jest większy niż stopień mianownika, funkcja nie ma asymptoty poziomej. (Jeśli stopień P(x) jest dokładnie o jeden większy niż Q(x), istnieje asymptota ukośna.)
f(x) = 1 / x
Dziedzina: x != 0
Asymptota pionowa: x = 0
Asymptota pozioma: y = 0
f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2)
Tę funkcję można uprościć: f(x) = [(x - 2)(x + 2)] / (x - 2) = x + 2, dla x != 2.
Dziedzina: x != 2 (ponieważ pierwotny mianownik nie może być zerem).
Nieciągłość: Istnieje "dziura" lub nieciągłość usuwalna przy x = 2, a nie asymptota pionowa, ponieważ czynnik (x-2) się skraca. Współrzędna y dziury wynosi 2+2=4.
Asymptota pozioma: Ponieważ uproszczona funkcja jest liniowa (stopień licznika staje się faktycznie 1, stopień efektywnego mianownika wynosi 0 po skróceniu, lub rozważając oryginał, gdzie stopień licznika (2) jest większy niż stopień mianownika (1)), nie ma asymptoty poziomej.
Funkcje wymierne mają szerokie zastosowanie w matematyce, ponieważ pozwalają na analizę złożonych relacji między zmiennymi. Ich miejsca zerowe, asymptoty i dziedziny są kluczowymi elementami w badaniu ich wykresów i zachowania w różnych kontekstach matematycznych. Zrozumienie tych funkcji jest fundamentalne dla dalszych studiów w analizie i algebrze.
