© 2025 Astra.si. Wszelkie prawa zastrzeżone.
Dla następnego pokolenia.
© 2025 Astra.si. Wszelkie prawa zastrzeżone.
Dla następnego pokolenia.
Funkcja wymierna jest dana w postaci:
f(x) = P(x) / Q(x),
gdzie P(x) i Q(x) są wielomianami, a Q(x) != 0. Jej wykres nie jest ciągłą krzywą jak w przypadku wielomianów, ale zawiera charakterystyczne przerwy, asymptoty, dziury i inne punkty szczególne. Celem wykresu jest pokazanie zachowania funkcji wokół jej miejsc zerowych i punktów, gdzie nie jest zdefiniowana.
Dziedzina Df obejmuje wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem tych, gdzie Q(x) = 0. Te punkty są wyłączone, ponieważ dzielenie przez zero nie jest dozwolone.
Przykład: f(x) = (x^2 - 1) / (x - 2), zatem Q(x) = x - 2, czyli Df = R \ {2} (wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem 2)
Czasami licznik i mianownik można rozłożyć na czynniki i skrócić wspólne czynniki. Pamiętaj, że punkty odpowiadające skróconym czynnikom z mianownika nadal reprezentują dziury i nie są w dziedzinie.
Przykład: f(x) = (x^2 - 1) / (x - 2) = [(x - 1)(x + 1)] / (x - 2). (Brak wspólnych czynników do skrócenia tutaj).
Miejsca zerowe to rozwiązania równania P(x) = 0, pod warunkiem że Q(x) != 0 w tych punktach. Te punkty odpowiadają przecięciom z osią x.
W powyższym przykładzie: P(x) = (x - 1)(x + 1), zatem miejsca zerowe: x = -1, x = 1.
Podstaw x = 0, jeśli 0 należy do Df:
Przykład: f(0) = (0^2 - 1) / (0 - 2) = -1 / (-2) = 0,5. Punkt przecięcia z osią y to (0, 0,5).
Występują one przy wartościach x, gdzie Q(x) = 0 po uproszczeniu (tj. czynnik w mianowniku nie skrócił się z czynnikiem w liczniku), a P(x) != 0 przy tych wartościach x. W tych punktach funkcja dąży do ±nieskończoności, a wykres zbliża się do linii pionowej.
Przykład: Dla f(x) = (x^2 - 1)/(x - 2), Q(x) = x - 2, zatem asymptota pionowa przy x = 2.
Są one określane przez porównanie stopni licznika P(x) i mianownika Q(x):
Jeśli stopień P < stopień Q, to asymptota pozioma y = 0.
Jeśli stopień P = stopień Q, to asymptota pozioma y = an/bn (stosunek współczynników wiodących).
Jeśli stopień P > stopień Q:
Jeśli stopień P = stopień Q + 1, to asymptota ukośna, znaleziona przez dzielenie wielomianów.
Jeśli stopień P > stopień Q + 1, to brak asymptoty poziomej lub ukośnej (zachowanie jest wielomianowe).
Przykład: f(x) = (2x^2 + 1) / (x^2 - 3), zatem stopień P = stopień Q = 2. Asymptota pozioma: y = 2/1 = 2.
Jeśli czynnik (x - c) pojawia się zarówno w liczniku, jak i w mianowniku i można go skrócić, to w wykresie występuje dziura przy x = c. Funkcja nie jest zdefiniowana przy x=c, ale wykres zbliża się do punktu, który by istniał, gdyby funkcja była tam zdefiniowana.
Przykład: f(x) = [(x - 1)(x + 2)] / (x - 1). To upraszcza się do f(x) = x + 2, dla x != 1.
Wykres jest prostą z dziurą przy x = 1. Aby znaleźć współrzędną y dziury, podstaw x=1 do uproszczonego wyrażenia: y = 1 + 2 = 3. Dziura w (1, 3).
Po lewej i prawej stronie asymptoty pionowej funkcja często dąży do +nieskończoności lub -nieskończoności. Testuj punkty, aby określić kierunek.
Dla dużych wartości |x| wykres funkcji "przylega" lub zbliża się do asymptoty poziomej lub ukośnej.
Znak funkcji można określić w przedziałach między miejscami zerowymi a asymptotami pionowymi.
f(x) = (x^2 - 4) / (x - 1)
Uprość: f(x) = [(x - 2)(x + 2)] / (x - 1) (Brak wspólnych czynników)
Dziedzina (Df): R \ {1}
Miejsca zerowe: P(x) = (x - 2)(x + 2) = 0, zatem x = -2, x = 2.
Punkt przecięcia z osią y: f(0) = (0^2 - 4) / (0 - 1) = -4 / -1 = 4. Punkt (0, 4).
Asymptota pionowa: Q(x) = x - 1 = 0, zatem x = 1.
Asymptota pozioma/ukośna: Stopień P(x) wynosi 2, stopień Q(x) wynosi 1. Ponieważ stopień P = stopień Q + 1, istnieje asymptota ukośna. Wykonaj dzielenie wielomianów (x^2 - 4) przez (x - 1).
Iloraz wynosi x + 1, a reszta -3.
Zatem f(x) = x + 1 - 3/(x - 1). Asymptota ukośna to y = x + 1.
Wykres funkcji wymiernej zawiera ważne informacje o miejscach zerowych, asymptotach, punktach przerwania (nieciągłościach) i zachowaniu funkcji dla dużych |x|. Staranna analiza licznika i mianownika pozwala na pełne graficzne zrozumienie funkcji. Szczególną uwagę należy zwrócić na asymptoty i dziury, ponieważ określają one główne cechy przebiegu wykresu.
