© 2025 Astra.si. Wszelkie prawa zastrzeżone.
Dla następnego pokolenia.
© 2025 Astra.si. Wszelkie prawa zastrzeżone.
Dla następnego pokolenia.
Funkcja wymierna to funkcja matematyczna, którą można wyrazić jako iloraz dwóch wielomianów. Oznacza to, że funkcja wymierna ma postać f(x) = P(x)/Q(x), gdzie P(x) i Q(x) są wielomianami, a Q(x) nie może być wielomianem zerowym (Q(x) != 0).
Asymptota funkcji wymiernej to linia prosta, która opisuje zachowanie wykresu funkcji, gdy x lub f(x) zbliża się do określonych wartości, ale nigdy ich faktycznie nie osiąga. Istnieją trzy typy asymptot: asymptoty pionowe, poziome i ukośne.
ASYMPTOTY PIONOWE występują, gdy funkcja dąży do nieskończoności lub minus nieskończoności, gdy x zbliża się do określonej wartości. Dzieje się tak, gdy mianownik Q(x) jest równy 0, ale licznik P(x) nie jest równy 0 przy tej samej wartości x (po skróceniu wszelkich wspólnych czynników).
ASYMPTOTY POZIOME opisują zachowanie wykresu funkcji, gdy x dąży do nieskończoności lub minus nieskończoności. Asymptota pozioma występuje, gdy wartość funkcji zbliża się do określonej stałej.
ASYMPTOTY UKOŚNE to asymptoty, które nie są ani pionowe, ani poziome. Występują, gdy stopień licznika P(x) jest dokładnie o jeden większy niż stopień mianownika Q(x).
ASYMPTOTY PIONOWE: Rozwiąż równanie Q(x) = 0. Każde rozwiązanie 'c', dla którego P(c) != 0 (po uproszczeniu ułamka P(x)/Q(x) przez skrócenie wspólnych czynników) będzie miejscem asymptoty pionowej, x = c.
ASYMPTOTY POZIOME:
Jeśli stopień licznika P(x) jest mniejszy niż stopień mianownika Q(x), to y = 0 jest asymptotą poziomą.
Jeśli stopnie są równe, asymptota pozioma to y = (współczynnik wiodący P(x)) / (współczynnik wiodący Q(x)).
Jeśli stopień P(x) jest większy niż stopień Q(x), nie ma asymptoty poziomej.
ASYMPTOTY UKOŚNE: Jeśli stopień licznika P(x) jest dokładnie o jeden większy niż stopień mianownika Q(x), wykonaj dzielenie wielomianów, dzieląc P(x) przez Q(x). Iloraz (który będzie równaniem liniowym postaci y = mx + b) reprezentuje asymptotę ukośną. Wyraz reszty powinien dążyć do zera, gdy x dąży do ±nieskończoności.
Dla funkcji f(x) = (2x^2 + 3x - 5) / (x - 1) znajdźmy asymptoty.
Podstaw mianownik x - 1 = 0, co daje x = 1. Teraz sprawdź wartość licznika P(x) = 2x^2 + 3x - 5 przy x = 1: P(1) = 2(1)^2 + 3(1) - 5 = 2 + 3 - 5 = 0. Ponieważ zarówno licznik, jak i mianownik są równe 0 przy x = 1, powinniśmy rozłożyć licznik na czynniki: 2x^2 + 3x - 5 = (x - 1)(2x + 5). Zatem f(x) = [(x - 1)(2x + 5)] / (x - 1). Dla x != 1, f(x) = 2x + 5. Ponieważ czynnik (x-1) się skraca, nie ma asymptoty pionowej przy x = 1. Zamiast tego w wykresie występuje dziura przy x = 1. Współrzędna y dziury wynosi 2(1) + 5 = 7.
Stopień licznika (2) jest większy niż stopień mianownika (1). Dlatego nie ma asymptoty poziomej.
Ponieważ stopień licznika jest dokładnie o jeden większy niż stopień mianownika, wykonujemy dzielenie wielomianów (2x^2 + 3x - 5) przez (x - 1). Dzielenie daje iloraz 2x + 5 i resztę 0. Zatem f(x) = 2x + 5, dla x != 1. W tym szczególnym przypadku, ponieważ reszta wynosi zero, sama funkcja upraszcza się do prostej y = 2x + 5 (z dziurą przy x=1). Ta prosta jest wykresem funkcji, a nie linią, do której funkcja dąży asymptotycznie. (Dla typowej asymptoty ukośnej dzielenie wielomianów dałoby liniowy iloraz mx+b i niezerową resztę R(x), więc f(x) = mx + b + R(x)/Q(x), gdzie R(x)/Q(x) dąży do 0, gdy x dąży do ±nieskończoności. Wtedy y = mx + b byłoby asymptotą ukośną.)
