Funkcja

Podstawowa definicja

Funkcja to relacja matematyczna, która każdemu elementowi ze zbioru definicji (dziedziny) przyporządkowuje dokładnie jeden element ze zbioru wartości (przeciwdziedziny). Symbolicznie:

f: D -> Z, gdzie dla każdego x ∈ D istnieje dokładnie jedno y ∈ Z takie, że f(x) = y.

Funkcja opisuje zatem zależność między dwiema wielkościami: x (zmienną niezależną) i y (zmienną zależną).

Sposoby przedstawienia funkcji

Funkcję można podać na różne sposoby:

• za pomocą wzoru (np. f(x) = x^2 + 2),
• tabelarycznie (lista wartości),
• graficznie (wykres funkcji w układzie współrzędnych),
• opisowo (tekstowy opis zależności między wielkościami).

Dziedzina i zbiór wartości

Dziedzina (ozn. Df): wszystkie dopuszczalne x, dla których funkcja jest zdefiniowana.
Zbiór wartości (ozn. Zf): wszystkie y, które funkcja faktycznie przyjmuje.

Przykład:
f(x) = sqrt(x) jest określona tylko dla x >= 0, więc Df = [0, nieskończoność).
Zf = [0, nieskończoność), ponieważ pierwiastek kwadratowy nie przyjmuje wartości ujemnych.

Rodzaje funkcji

Funkcje można klasyfikować według formy i cech:

• funkcja liniowa: f(x) = kx + n,
• funkcja kwadratowa: f(x) = ax^2 + bx + c,
• funkcja wykładnicza: f(x) = a^x,
• funkcja logarytmiczna: f(x) = log_a(x),
• funkcja wymierna: f(x) = p(x)/q(x), gdzie p i q są wielomianami.

Własności funkcji

Analiza funkcji obejmuje m.in.:

• monotoniczność (rosnąca/malejąca),
• parzystość/nieparzystość,
• ciągłość,
• okresowość,
• granice,
• pochodne (w matematyce wyższej).

Przykład

Zdefiniujmy funkcję f(x) = x^2 - 2x + 1.
Jest to funkcja kwadratowa, a jej wykres to parabola.
Df = R (zbiór liczb rzeczywistych), ponieważ jest określona dla wszystkich x ∈ R.
Zf = [0, nieskończoność), ponieważ ma minimum w x = 1, gdzie f(1) = 0.

Wnioski

Funkcja to podstawowe pojęcie matematyki, które umożliwia opis zależności między wielkościami. Dzięki różnym sposobom przedstawienia i analizie funkcji badamy ich zachowanie oraz własności, co jest kluczowe w kolejnych działach algebry, analizy i matematyki stosowanej.