Obwód i pole trójkąta

Obwód trójkąta: podstawowy wzór i przykład

Obwód (O) to suma trzech boków: O = a + b + c. Zawsze zapisuj jednostki, np. cm. Przykład: trójkąt o bokach 3 cm, 4 cm i 5 cm ma O = 3 + 4 + 5 = 12 cm. Jeśli znasz tylko dwa boki i kąt albo wysokość, nie obliczysz obwodu bezpośrednio. Najpierw wyznacz brakujący bok, korzystając z twierdzenia cosinusów lub z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym.

Pole: od wzoru podstawowego do wzoru Herona

Podstawowy wzór na pole (P) to P = (a · h_a)/2, gdzie h_a jest wysokością opuszczoną na bok a. Gdy znasz dwa boki i kąt między nimi γ, użyj P = (1/2)ab sin γ. Jeśli znane są tylko trzy boki, zastosuj wzór Herona: oblicz najpierw półobwód s = (a + b + c)/2, a następnie P = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). Ten wariant jest szczególnie wygodny, gdy nie masz wysokości, ale znasz długości boków.

Przypadki szczególne: prostokątny, równoramienny, równoboczny

Dla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych p i q mamy P = (p · q)/2, a obwód O = p + q + √(p² + q²). W trójkącie równoramiennym wysokość na podstawę wyznaczysz, dzieląc podstawę na połowy i stosując Pitagorasa. Trójkąt równoboczny o boku a ma O = 3a oraz P = (a²√3)/4. Te wzory „specjalne” oszczędzają czas i ułatwiają szybkie sprawdzenie poprawności wyniku.

Typowe błędy i szybkie sprawdzenia

1. Sprawdź nierówność trójkąta: dla każdej pary boków a + b > c i cyklicznie.
2. Nie zapominaj o jednostkach i rozsądnym zaokrąglaniu.
3. We wzorze Herona wyrażenie pod pierwiastkiem nie może być ujemne. Jeśli jest, dane są niezgodne.
4. Szybki test: dla boków 7, 8 i 5 mamy O = 20 cm, s = 10 cm oraz P = √(10 · 3 · 2 · 5) = √300 ≈ 17,32 cm².

Wynik sensownie mniejszy od zgrubnej estymacji przez podstawę i wysokość oznacza, że obliczenia są wiarygodne. Na egzaminie najpierw wykonaj szkic, zaznacz dane, wybierz właściwy wzór, a dopiero potem licz.