Pochodna - ćwiczenie 1

Wyjaśnienie

5 minut

Pochodna opisuje, jak funkcja zmienia się względem swojej zmiennej. Daje nachylenia stycznych, ekstrema (maksima i minima) oraz punkty przegięcia. Poniżej krótki przegląd idei i trzy przykłady krok po kroku z użyciem reguły potęgowej.

Podstawowe pojęcia

Pochodną f(x) w punkcie x definiujemy jako granicę średniej zmiany, gdy h dąży do 0:

f'(x) = lim_{h->0} ( f(x + h) - f(x) ) / h

Ta definicja stanowi podstawę reguł różniczkowania.

Reguły różniczkowania

Pochodna stałej: d/dx(c) = 0
Reguła potęgowa: d/dx(x^n) = n*x^(n-1)
Stały współczynnik: d/dx(kx^n) = kn*x^(n-1)
Suma i różnica: różniczkujemy składnik po składniku
Reguła iloczynu: d/dx( f(x)*g(x) ) = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)
Reguła ilorazu: d/dx( f(x)/g(x) ) = ( f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x) ) / ( g(x) )^2
Reguła łańcuchowa: d/dx( f(g(x)) ) = f'(g(x))*g'(x)

Przykłady

Przykład 1
f(x) = x^-3. Dla n = -3:
f'(x) = -3x^(-3-1) = -3x^-4
(Opcjonalnie) f'(x) = -3/(x^4), przy x != 0.

Przykład 2
f(x) = 3x^8 + x^-2. Składnikowo:
d/dx(3x^8) = 38x^(8-1) = 24x^7
d/dx(x^-2) = -2x^(-2-1) = -2x^-3
Razem: f'(x) = 24x^7 - 2x^-3
(Opcjonalnie) f'(x) = 24x^7 - 2/(x^3), x != 0.

Przykład 3
f(x) = 3x^4 - 5x^3 + 2x^2 + 6x + 8.
d/dx(3x^4) = 12x^3
d/dx(-5x^3) = -15x^2
d/dx(2x^2) = 4x
d/dx(6x) = 6
d/dx(8) = 0
Wynik: f'(x) = 12x^3 - 15x^2 + 4x + 6

Zastosowania pochodnych

Pochodne służą do wyznaczania chwilowych szybkości zmian, optymalizacji, analizy wklęsłości i punktów przegięcia oraz stanowią podstawę całek i równań różniczkowych.