Funkcja kwadratowa - wierzchołek

Funkcja kwadratowa, reprezentowana przez równanie f(x) = ax^2 + bx + c, gdzie a, b i c są liczbami rzeczywistymi, a a != 0, tworzy graficzną reprezentację w kształcie paraboli. Centralnym elementem tej paraboli jest jej wierzchołek, który reprezentuje najwyższy lub najniższy punkt paraboli.

Wyznaczanie wierzchołka

Wierzchołek funkcji kwadratowej to punkt zdefiniowany przez współrzędne (p, q) i jest kluczowy dla zrozumienia kształtu i orientacji paraboli. Współrzędne wierzchołka są obliczane za pomocą następujących wzorów:

Współrzędna p wierzchołka: p = -b / (2a)

Współrzędna q wierzchołka: q = f(p), co oznacza q = a(p)^2 + b(p) + c, po obliczeniu p.

Wpływ współczynników na wierzchołek

WSPÓŁCZYNNIK a: Określa kierunek, w którym otwiera się parabola (w górę dla a > 0 i w dół dla a < 0) i wpływa na szerokość paraboli.

WSPÓŁCZYNNIK b: Wpływa na poziome położenie wierzchołka.

WSPÓŁCZYNNIK c: Wpływa na pionowe położenie paraboli, konkretnie jest to punkt przecięcia z osią y, co wpływa na to, gdzie wierzchołek znajduje się względem osi y, jeśli 'b' również się zmienia.

Badanie wierzchołka na przykładzie

Dana funkcja f(x) = 2x^2 - 4x + 1:

1. OBLICZ WSPÓŁRZĘDNĄ p WIERZCHOŁKA: p = -(-4) / (2 * 2) = 4 / 4 = 1
2. NASTĘPNIE OBLICZ WSPÓŁRZĘDNĄ q WIERZCHOŁKA: q = f(1) = 2*(1)^2 - 4*(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1

Zatem wierzchołek paraboli to punkt (1, -1).

Znaczenie wierzchołka w analizie paraboli

Wierzchołek paraboli dostarcza ważnych informacji o zachowaniu funkcji kwadratowej:

Jeśli a > 0, wierzchołek reprezentuje najniższy punkt paraboli (wartość minimalna funkcji).

Jeśli a < 0, wierzchołek reprezentuje najwyższy punkt paraboli (wartość maksymalna funkcji).

Poziome położenie wierzchołka (współrzędna p) definiuje również oś symetrii paraboli (x = p).